ФРАКТАЛЬНАЯ СЕТЬ И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ В БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЕ

Глава 1. ФРАКТАЛЬНАЯ СЕТЬ И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ В БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЕ

ПРЕАМБУЛА. Фрактальные сетки являются определяющими в двоичных системах счисления. Двигаясь по ним можно определить величину числа в двоичной записи.

В настоящей работе будут рассмотрены применения фрактальных сетей к Булевой Алгебре, и правила, по которым по фрактальным сетям может быть определена величина любого числа в алгебре единиц и нулей.

ФРАКТАЛЬНАЯ СЕТКА ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ (рисунок 1) строится по следующим правилам.

1 Цифры от нуля до 2^k откладываются по горизонтальной и вертикальной осям.

2 если число (находящееся на горизонтальной оси) нечетное, но на 4 не делится, ему соответствует вертикальный отрезок длиной 2⁰ =1

3 если число делится на 2^m, ему соответствует вертикальный отрезок высотой 2^m.

В двоичной булевой алгебре единиц и нулей

три разряда позволяют записывать положительные числа от 0 до 7=2³-1  

Четыре разряда позволяют записывать положительные числа от 0 до 15=2⁴-1

Пять разрядов позволяют записывать положительные числа от 0 до 31=2⁵-1

Шесть разрядов позволяют записывать положительные числа от 0 до 63=2⁶-1

Семь разрядов позволяют записывать положительные числа от 0 до 127=2⁷-1
Восемь разрядов позволяют записывать положительные числа от 0 до 255=2⁸-1

Для вычислений в компьютерах для указания знака числа зарезервирован дополнительный разряд, находящийся слева от числа. В котором плюс единица соответствует положительным числам, а минус единица – отридцательным. Соответственно этому число разрядов записи числа в булевой алгебре на компьютерах увеличивается на единицу.

Отметим основные свойства фрактальной сети двоичных систем счисления, используемые для получения числа по алгоритмической процедуре..

1 По достижении отрезка длиной 2^m в рассмотрение принимаются только числа, которым соответствуют отрезки длиной 2^m+1 или более. Назовем такую подсеть фрактальной сетью порядка m.

2. Структура сетей всех порядков k, k=0,1,2…m одна и та же. Поэтому сеть двоичных систем на рисунке 1 счисления является фракталом.
3. В каждой фрактальной сети порядка k, k=0,1,2…m у каждого целого числа порядка m (которому в фрактальной сети соответствует вертикальный отрезок длиной 2^m) из двух соседних отрезков один и только один всегда имеет длину 2^m+1. Другой соседствующий с 2^m числа в фрактальной сетке порядка m вертикальный отрезок в четыре и более раз длиннее исходного.

ЧИСЛОВОЙ ЛУЧ. Отрезок, направленный под углом -45^o от точки, соответствующей числу на горизонтальной оси, к вертикальной оси фрактальной сетки.

Примеры числовых лучей для чисел 7, 17. 27 и 32 приведены на рисунке 2.

Числа Булевой алгебры единиц и нулей могут быть получены движением на плоскости фрактальной сети по траектории, которая определена следующим образом:

АЛГОРИТМ ПОЛУЧЕНИЯ ЗАПИСИ ЧИСЛА В ДВОИЧНОЙ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЕ. Двоичная запись числа в традиционной Булевой алгебре получается по следующему правилам:

I если числовой луч пересекает вертикальный отрезок фрактальной сетки высотой 2ⁿ, соответствующий разряду n, в двоичной записи числа в разряде n записывается 1.

.

II Если числовой луч не пересекает вертикальный отрезок фрактальной сетки,  соответствующий разряду n, в двоичной записи числа в разряде n записывается 0 (ноль).

Например, числовой луч числа 17 на рисунке 2 пересекает исходный отрезок, соответствующий числу 17 и отрезок длиной 16=2⁴, соответствующий числу 16. Поэтому булева запись числа в квинтетной записи равна 10001.

На рисунках 1-3 приведена квинтетная запись чисел от 0 до 31 в фрактальной сетке, поскольку 64, 128 и 256 цифр по вертикали на рисунке, помещенном на странице,  графически сложно изобразить. Однако фрактальная сетка для сикстетов, септетов и октетов строится в точности по таким же принципам - с тем лишь отличием, что в записи чисел слева добавляются нули. При этом число разрядов в числе, записываемом на компьютере, увеличивается на единицу. Так что квинтетная запись чисел (не более, чем с пятью цифрами) превращается в сикстетную, сикстетная в сепьетную, септетная в октетную и так дажее. Так, положительное число в сикстетной записи превращается в септетное, септетное в октетное и так даже. Пример: число 7 в квинтетной записи на компьютере равно 1 0111, в сикстетной 1 00111, в септетной 1 000111, а в октетной 1 0000111(рисунок 2).

Примечания.

Примечание первое. Единица в соответствующий разряд Булевой алгебры записывается в том и только в только том случае, если числовой луч пересекает вертикаль фрактальной сетки соответствующего разряда. Если числовой луч только касается вертикали фрактальной сетки соответствующего разряда, в этом разряде записи числа в Булевой записи пишется ноль

Примечание второе. Двоичная запись числа в нотации Булевой алгебры не зависит от того, происходит ли движение по числовому лучу начиная от оси X к оси Y (в направлении увеличения разрядов) или от оси Y к оси X (в направлении уменьшения разрядов).

Примечание третье. Числовой луч отрицательных чисел направлен от числа на горизонтальной оси под углом +45^o к вертикальной оси. В остальном получение отрицательно числа в булевой алгебре такое же, как описано выше для положительных чисел.

Пример: на рисунке 3 проведены числовые лучи числа -29=0 0011101 и числа +22=00 010110.

Примечание четвертое. Для записи отрицательных чисел в компьютерах добавляется один разряд, записываемый слева, в котором положительным числам соответствует 0, а отрицательным 1. Например, в октетной записи 17=0 0010001.

Кроме того для арифметических действий с отрицательными числами в компьютерах производится дополнительное преобразование (complementary code), при котором в булевой записи числа нули заменяются на единицы, а единицы заменяются на нули. Затем к полученной записи числа добавляется единица. Такое преобразование, необходимое для вычислений с отрицательными числами в булевой форме на компьютерах ,лишает операции с ними наглядности и возможности получать числа в Булевой записи по комплементарной сетке в результате арифметических операций.

На рисунке 1 произведена демонстрация того, что числа в булевой алгебре могут быть построены по фрактальной сетке, двигаясь по лучу от меньших разрядов к большим, или от больших разрядов к меньшим. Результат от направления движения по лучу не меняется. В качестве примеров нахождения положительных и отрицательных чисел в булевой алгебре по фрактальной сетке в компьютерной записи продемонстрировано нахождение в двоичной системе счисления единиц и нулей чисел +22=(010110)₆   и -29=-(011101)₆  или в компьютерной записи +22=(0 010110)₇  а -29=(1 011101)₇